چرا شان عسل شش‌ضلعی است؟ ریاضیات بی‌حساب‌وکتابِ زنبور

یک قاب عسل را جلوی نور بگیرید و چند لحظه نگاهش کنید. هزاران حفره‌ی کوچک، همه هم‌اندازه، همه شش‌ضلعی، بدون یک فاصله‌ی خالی. کسی خط‌کش نگذاشته و کسی پرگار به دست نگرفته. زنبور هم که ریاضی نخوانده. پس این نظم از کجا آمده؟

جواب کوتاه این است: شان عسل شش ضلعی است چون شش‌ضلعی برای ساختن حفره‌هایی با حجم برابر کمترین موم را می‌خواهد و موم برای زنبور گران تمام می‌شود. اما داستان همین‌جا تمام نمی‌شود، چون زنبورها شش‌ضلعی «نمی‌کشند»؛ فیزیک موم گرم‌شده آن را شکل می‌دهد. در این مقاله هر دو نیمه را می‌خوانیم: ریاضی‌ای که دو هزار سال منتظر اثبات ماند و فیزیکی که همین چند سال پیش توضیحش داده شد.

چرا شش‌ضلعی؟ حساب ساده‌ی دیوارها

اول یک سؤال ساده. اگر بخواهیم صفحه را با حفره‌های هم‌شکل و هم‌اندازه پر کنیم، بی‌آنکه حتی یک گوشه خالی بماند، چه شکل‌هایی در اختیار داریم؟ فقط سه چندضلعی منتظم این کار را می‌کنند: مثلث متساوی‌الاضلاع، مربع و شش‌ضلعی. دایره، پنج‌ضلعی و هشت‌ضلعی بین خودشان فاصله می‌گذارند و آن فاصله‌ها باید با چیزی پر شوند. پس انتخاب بین همین سه شکل است.

حالا فرض کنید هر حفره باید مساحت یکسانی داشته باشد و ما می‌خواهیم کمترین دیوار را خرج کنیم. حسابش در حد دبیرستان است. اگر مساحت هر حفره را یک واحد بگیریم، طول دیوار لازم برای هر حفره این می‌شود:

• مثلث: حدود ۶٫۸۴ واحد
• مربع: ۴ واحد
• شش‌ضلعی: حدود ۳٫۷۲ واحد

یعنی با همان مقدار جا، مربع حدود ۷ درصد و مثلث حدود ۸۴ درصد دیوار بیشتر لازم دارد. (در شان واقعی هر دیوار بین دو حفره‌ی همسایه مشترک است، پس نسبت‌ها همین می‌ماند.)

۷ درصد کم به نظر می‌رسد؟ برای زنبور کم نیست. موم رایگان نیست: کارگرها آن را از غده‌های زیر شکمشان به شکل ورقه‌های ریز ترشح می‌کنند و برای ساختنش باید مقدار زیادی شهد و عسل مصرف کنند. داروین در «منشأ انواع» از گزارشی نقل می‌کند که طبق آن برای هر پوند موم ۱۲ تا ۱۵ پوند شکر خرج می‌شود. برآوردهای امروزی بسته به روش اندازه‌گیری فرق می‌کنند و از حدود ۵ تا بیش از ۱۰ برابر وزن موم، عسل مصرف‌شده را می‌گویند. هر قاشق عسلی که خرج موم شود، عسلی است که به انبار زمستان نمی‌رسد. در کندویی با ده‌ها هزار حفره، همان ۷ درصد صرفه‌جویی عدد کوچکی نیست.

حدسی که دو هزار سال باز ماند

این‌که زنبورها شش‌ضلعی را انتخاب کرده‌اند، از قدیمی‌ترین نکته‌هایی است که درباره‌ی شان نوشته شده. وارو، نویسنده‌ی رومی که حدود دو هزار سال پیش درباره‌ی کشاورزی می‌نوشت، به آن اشاره کرده بود. پاپوس اسکندرانی در قرن چهارم میلادی آن را به استدلال ریاضی تبدیل کرد: از میان سه شکل منتظم، شش‌ضلعی برای همان مقدار مواد بیشترین عسل را نگه می‌دارد.

ولی استدلال پاپوس فقط همان سه شکل را مقایسه می‌کرد. سؤال بزرگ‌تر این بود که آیا هیچ شکل دیگری، حتی با دیوارهای خمیده و بی‌قاعده، نمی‌تواند از شش‌ضلعی بهتر باشد؟ این سؤال «حدس شان عسل» نام گرفت. سال ۱۹۴۳ لاسلو فیش توت ثابت کرد که اگر حفره‌ها محدب باشند، شش‌ضلعی برنده است. اما اثبات کامل برای هر شکل ممکن تا سال ۱۹۹۹ پیدا نشد. تامس هیلز، ریاضی‌دانی که قبلاً مسئله‌ی معروف چیدن گلوله‌ها (حدس کپلر) را هم حل کرده بود، آن را ثابت کرد و مقاله‌اش سال ۲۰۰۱ در مجله‌ی Discrete & Computational Geometry چاپ شد.

این یعنی زنبورها جواب درست را بسیار زودتر از ریاضی‌دان‌ها داشتند. البته نه با حساب‌وکتاب. کندوهایی که موم کمتری هدر می‌دادند، عسل بیشتری برای زمستان ذخیره می‌کردند و زنده می‌ماندند؛ انتخاب طبیعی طی میلیون‌ها سال همین کار را کرد.

زنبور پرگار ندارد؛ فیزیک کار را تمام می‌کند

سال‌ها تصور می‌شد زنبور هر حفره را مثل بنایی که آجر می‌چیند، دقیق و شش‌ضلعی می‌سازد. پژوهشی در سال ۲۰۱۳ (بهوشان کاریهالو و همکارانش، در Journal of the Royal Society Interface) تصویر دیگری نشان داد. وقتی ساخت شان را وسط کار بررسی کردند، دیدند حفره‌های تازه‌ساز گرد هستند و شش‌ضلعی بودنشان بعداً پدید می‌آید. در شان نیمه‌کاره، حفره‌های لبه‌ی پایین گردند و کمی بالاتر، که زمان بیشتری از ساختشان گذشته، گوشه‌دار شده‌اند. حفره‌های دو روزه هم شش‌ضلعی‌هایی با گوشه‌های گرد بودند.

چه چیزی گرد را شش‌ضلعی می‌کند؟ موم و گرما. زنبورها با بدن گرمشان موم را نرم می‌کنند؛ موم از حدود ۴۵ درجه‌ی سانتی‌گراد شروع به جاری شدن می‌کند. در نقطه‌هایی که سه حفره‌ی گرد به هم می‌رسند، موم نرم‌شده مثل مایعی غلیظ رفتار می‌کند و کشش سطحی آن را می‌کشد و دیوارها را صاف می‌کند. همان نیرویی که حباب‌های کف صابون را کنار هم می‌چیند و گوشه‌های سه‌تایی را با زاویه‌ی ۱۲۰ درجه به هم می‌رساند. دیوارها هم بسیار نازک‌اند، حدود ۹۰ میکرون یا هم‌اندازه‌ی یک تار مو، و به‌راحتی کشیده می‌شوند.

مدل ریاضی همین پژوهشگران نشان داد اگر کل حفره گرم شود، تبدیل گرد به شش‌ضلعی حدود ۶ ثانیه طول می‌کشد، و اگر فقط محل اتصال‌ها گرم شوند حدود ۳۶ ثانیه. هنوز کسی اندازه نگرفته که در کندوی واقعی کدام اتفاق می‌افتد، و مدل آن‌ها دو‌بعدی است و در واقعیت احتمالاً زمان بیشتری لازم است.

پس نقش زنبور چیست؟ هنوز مهم است: او موم را می‌سازد، در جای درست می‌گذارد، ورز می‌دهد و با بدنش گرم می‌کند. زنبور مواد و گرما را فراهم می‌کند و فیزیک شکل را. شبیه وقتی که چند حباب صابون را کنار هم می‌گذارید و لازم نیست کسی برایشان نقشه بکشد.

ته هر حفره هم سه لوزی است

اگر به عمق حفره‌ها نگاه کنیم، نکته‌ی دیگری هم هست. ته هر حفره تخت نیست؛ هرمی کم‌ارتفاع از سه لوزی است. شان دو رو دارد و حفره‌های دو طرف پشت‌به‌پشت هم قرار می‌گیرند و ته‌هایشان درهم قفل می‌شود، تا موم کمتری مصرف شود. اندازه‌گیری‌های قرن هجدهم نشان داد زاویه‌ی این لوزی‌ها نزدیک ۱۰۹ و ۷۰ درجه است.

عکس بالا ورقه‌ی «موم شان‌پایه» است. زنبوردارها این ورقه‌ها را در قاب‌ها می‌گذارند و نقش شش‌ضلعی را روی آن می‌فشارند تا زنبور انرژی کمتری برای شروع بگذارد و شان صاف و منظم ساخته شود. همان‌جا ته سه‌لوزی حفره‌ها هم به‌خوبی دیده می‌شود. بهار که شهد زیاد می‌شود، زنبورها بیشترین شان تازه را می‌سازند؛ درباره‌ی کارهای زنبوردار در این فصل در مقاله‌ی زنبورداری در بهار بیشتر بخوانید.

همه‌ی شان‌ها شش‌ضلعیِ کامل نیستند

شش‌ضلعی بودن قانون مطلق طبیعت نیست. زنبورهای بامبل‌بی که عسل کمی ذخیره می‌کنند، برای نگه‌داری غذا گلدان‌های گرد و نامنظم از موم می‌سازند. داروین هم همین را نوشته بود و آن را مثل نسخه‌ی ابتدایی شان می‌دید که زنبور عسل راهش را تا انتها رفته است. زنبورهای کاغذساز (واسپ) هم حفره‌های شش‌ضلعی می‌سازند، چون مسئله‌ی ریاضی همان است.

حتی در شان زنبور عسل هم همه‌چیز بی‌نقص نیست. جایی که ناحیه‌ی حفره‌های زنبور کارگر به حفره‌های بزرگ‌تر زنبور نر می‌رسد، زنبورها ناچارند حفره‌های نامنظم، پنج‌ضلعی و هفت‌ضلعی بسازند تا دو اندازه به هم وصل شوند. اگر می‌خواهید بدانید در یک کندو چه زنبورهایی زندگی می‌کنند و هر کدام چه می‌کنند، مقاله‌ی انواع زنبور در کندو را ببینید.

از کندو تا بال هواپیما

شش‌ضلعی هم سبک است و هم محکم، و مهندس‌ها قرن‌هاست از زنبور یاد گرفته‌اند. پانل‌های ساندویچی با هسته‌ی شان‌عسلی در هواپیما و ماهواره به کار می‌روند: دو ورق نازک با هسته‌ای شش‌ضلعی میانشان، که با وزن بسیار کم استحکام زیادی می‌دهد. هسته‌ی شش‌ضلعی در کارتن‌های بسته‌بندی سبک هم به کار می‌رود. هر وقت صحبت از کم‌ماده‌ترین ساختار محکم می‌شود، مهندس‌ها به همان قاب زنبور فکر می‌کنند.

شان عسل برای کسی که عسل می‌خرد چه معنایی دارد؟

هر حفره‌ی شان ظرف کوچکی است که زنبور خودش ساخته و اندازه‌اش را حساب‌شده نگه داشته. عسل رسیده در همین حفره‌ها ذخیره و رویش با لایه‌ی نازکی موم مهر می‌شود؛ چرا این بسته‌بندی طبیعی عسل را سال‌ها سالم نگه می‌دارد، در مقاله‌ی چرا عسل خراب نمی‌شود؟ نوشته‌ایم. اگر به عسل علاقه دارید، دسته‌ی عسل طبیعی را ببینید.

همین موم زنبور را در شمع مومی طبیعی هم می‌بینید: ماده‌ای که زنبور با آن شهر شش‌ضلعی‌اش را می‌سازد، در خانه‌ی ما به شمع تبدیل می‌شود. و برای دانستنی‌های کوتاه دیگر درباره‌ی این حشره‌ی عجیب، به دانستنی‌های کوتاه از زندگی زنبور عسل سر بزنید.

پرسش‌های متداول

آیا زنبور واقعاً ریاضی بلد است؟

نه. زنبور قاعده‌ی ساده‌ی ساختن و گرم کردن موم را دارد و بقیه‌اش کار فیزیک است. نتیجه‌ی نهایی ریاضی‌وار به نظر می‌رسد چون طبیعت طی میلیون‌ها سال، کندوهایی را که موم کمتری هدر می‌دادند نگه داشته است.

دایره از همه‌ی شکل‌ها کم‌دیوارتر است؛ چرا زنبور حفره‌ی گرد نمی‌سازد؟

درست است که دایره برای هر مساحت کمترین محیط را دارد، اما دایره‌ها کنار هم فاصله‌ی خالی می‌گذارند. آن فاصله‌ها یا هدر می‌روند یا باید با موم اضافه پر شوند. شش‌ضلعی تنها شکلی است که بدون فاصله می‌نشیند و هم‌زمان کمترین دیوار را لازم دارد.

چرا زنبوردارها ورقه‌ی موم شش‌ضلعی در قاب می‌گذارند؟

این ورقه‌ها راهنمای زنبورند. زنبور به‌جای ساختن همه‌چیز از صفر، دیوارها را روی نقش آماده بالا می‌کشد؛ در نتیجه زمان و انرژی کمتری خرج می‌شود و شان صاف و یک‌اندازه می‌ماند.

شش‌ضلعی در طبیعت جاهای دیگر هم هست؟

بله. ستون‌های بازالت در برخی مناطق آتشفشانی، حباب‌های کف صابون و حتی الگوی ابری شش‌ضلعی در قطب شمال سیاره‌ی زحل از همین خانواده‌اند. هر جا فشار و کشش بخواهد سطحی را بی‌فاصله و با کمترین هزینه تقسیم کند، شش‌ضلعی پیدا می‌شود.